03 - Differentialrechnung

Ableitung

Eine Funktion $f: D \rightarrow \mathbb{R}$ ist im Punkt $x \in D$ differenzierbar, wenn der Differenzenquotient $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$ für $h \rightarrow 0$ gegen eine reelle Zahl konvergiert. Der Grenzwert wird mit $f'(x)=\frac{df(x)}{dx}$ bezeichnet und heißt Ableitung von $f$ an der Stelle $x$. Die Funktion $f$ ist differenzierbar, wenn $f(x)$ in jedem Punkt $x \in D$ differenzierbar ist. $f$ ist dann eine Stammfunktion von $f'$.

Die linksseitige Ableitung ist durch $f'(x-)=\lim_{h \uparrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ gegeben, die rechtsseitige Ableitung ist durch $f'(x+)=\lim_{h \downarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ definiert.

Rechenregeln

Wenn zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ in einem Punkt $x$ differenzierbar sind, dann sind auch $f(x) \pm g(x)$, $f(x)\cdot g(x)$ und $f(x)/g(x)$ (für $g(x) \neq 0$) in $x$ differenzierbar.
Faktorregel: $(cf(x))' = cf'(x)$ für alle $c \in \mathbb{R}$.
Summenregel: $(f(x) + g(x))' = f'(x) +g'(x)$.
Produktregel: $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$.
Quotientenregel: $\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$.
Kettenregel: $(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)$.
Umkehrregel: $(f^{-1}(y))' = \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{f(f^{-1}(y))}$, $y=f(x)$, $x = f^{-1}(y)$.
Regel von L'Hospital: Wenn zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ für $x \rightarrow x_0$ beide gegen 0 oder $\pm\infty$ konvergieren und $\frac{f'(x)}{g'(x)} \rightarrow c \in \mathbb{R}$ für $x \rightarrow x_0$ gilt, dann gilt auch $\frac{f(x)}{g(x)} \rightarrow c$ für $x \rightarrow x_0$.

Ableitungen und Stammfunktionen einiger Funktionen

Stammfunktion F(x)	Funktion f(x)	Ableitung f'(x)
$ax$	$a$	$0$
$\frac{ax^2}{2} + bx$	$ax + b$	$a$
$\frac{x^{n+1}}{n+1}$	$x^n$ $(n \in \mathbb{N})$	$nx^{n-1}$
$\frac{x^{r+1}}{r+1}$	$x^r$ $(r \in \mathbb{R})$	$rx^{r-1}$
$a_0x + a_1\frac{x^2}{2} + \cdots + a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}$	$a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n$	$a_1 + 2a_2x + \cdots + na_nx^{n-1}$
$\frac{b^x}{\ln(b)}$	$b^x$ $(b > 0)$	$\ln(b)b^x$
$e^x$	$e^x$	$e^x$
$x\ln(x) - x$	$\ln(x)$	$1/x$
$-\cos(x)$	$\sin(x)$	$\cos(x)$
$\sin(x)$	$\cos(x)$	$-\sin(x)$

Höhere Ableitungen

Wenn $f'(x)$ in $x$ differenzierbar ist, dann heißt $$f''(x) = f^{(2)}(x) = \frac{d^2f(x)}{dx^2} = (f'(x))'$$ zweite Ableitung von $f$ an der Stelle $x$. Rekursiv wird die $n$-te Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ für $n \geq 3$ durch $f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)}(x))'$ definiert, wenn $f^{(n-1)}(x)$ an der Stelle $x$ differenzierbar ist.

Stammfunktion F(x)	Funktion f(x)	Ableitung f'(x)
\(ax\)	\(a\)	\(0\)
\(\frac{ax^2}{2} + bx\)	\(ax + b\)	\(a\)
\(\frac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(x^n\) \((n \in \mathbb{N})\)	\(nx^{n-1}\)
\(\frac{x^{r+1}}{r+1}\)	\(x^r\) \((r \in \mathbb{R})\)	\(rx^{r-1}\)
\(a_0x + a_1\frac{x^2}{2} + \cdots + a_n\frac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n\)	\(a_1 + 2a_2x + \cdots + na_nx^{n-1}\)
\(\frac{b^x}{\ln(b)}\)	\(b^x\) \((b > 0)\)	\(\ln(b)b^x\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(e^x\)
\(x\ln(x) - x\)	\(\ln(x)\)	\(1/x\)
\(-\cos(x)\)	\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)
\(\sin(x)\)	\(\cos(x)\)	\(-\sin(x)\)