Differentiation2See - Krümmung und Wendepunkte

Unter dem Krümmungsverhalten einer Funktion versteht man im Allgemeinen die Abweichung einer Kurve von einer Geraden. Hierbei unterscheidet man zwischen Konvexität (Linkskrümmung) und Konkavität (Rechtskrümmung). Anschaulich heißt eine Funktion $f$ konvex auf einem Intervall $(a,b)$, wenn alle Verbindungsstrecken von zwei Punkten auf dem Graphen mit $x$ - Koordinaten in $(a,b)$ oberhalb der Kurve verlaufen. Verlaufen diese stets unterhalb, dann heißt $f$ konkav. Die folgenden Applikationen zeigen die streng konvexe Funktion $f_1(x) = e^x$ und die streng konkave Funktion $f_2(x) = \sqrt{x}$. Sie können ausprobieren, ob bei diesen beiden Funktionen tatsächlich alle Verbindungsstrecken oberhalb bzw. unterhalb des Graphen liegen.

Formal lässt sich dieses Verhalten auch mithilfe der zweiten Ableitung $f''$ nachweisen, sofern $f$ zweimal differenzierbar ist. Ist $f''(x) < 0$ für alle $x \in (a,b)$, dann ist $f$ in (a,b) konkav. Gilt hingegen $f''(x) > 0$ für alle $x \in (a,b)$, dann ist $f$ konvex.

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem Graphen, an dem sich das Krümmungsverhalten der Funktion ändert. Der Graph wechselt hier entweder von einer Rechts- in eine Linkskrümmung oder umgekehrt, d.h. an diesem Punkt findet ein Vorzeichenwechsel statt. Dieses Verhalten lässt sich durch die zweite Ableitung ausdrücken:

Hinreichendes Kriterium für einen Wendepunkt: Gilt $f''(x_0)=0$ und wechselt $f''$ an der Stelle $x_0$ das Vorzeichen, dann ist $x_0$ ein Wendepunkt.

Die folgende Applikation verdeutlicht dieses Verhalten. Dargestellt ist erneut die Funktion $g(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 3$ im Intervall $D = [-2,4]$. Unterhalb des Graphen wird der Wert der zweiten Ableitung $g''(x) = 6x - 8$ von $g$ in grüner bzw. roter Farbe ausgegeben, abhängig davon, ob das Resultat postiv oder negativ ist.

Mithilfe dieser Applikation lässt sich erkennen, dass ein Wendepunkt im Intervall $[1.3,1.4]$ vorhanden ist.  Der genaue Wert ergibt sich als Lösung der Gleichung $6x-8 = 0$, d.h. $x_{WP} = \frac43$.