09 - Differenzengleichungen, Eigenwert, Eigenvektor

Homogene lineare Differenzengleichungen

\(x_{n+1}=(1-p)x_n+d\), \(n>0\).

\(q=1-p, d\): Strukturparameter

\(x_{n+1}=f(x_n)\), \(f(x)=qx+d\)

\(x^{\ast}\) ist ein Gleichgewicht, wenn \(f(x^{\ast})=x^{\ast}\). Es gilt $$x^{\ast}=f(x^{\ast}) \Leftrightarrow x^{\ast}=qx^{\ast}+d \Leftrightarrow x^{\ast}=\frac{d}{1-q}.$$

Lösungsfolge

$$x_1=qx_0+d\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$x_2=q(qx_0+d)+d=q^2x_0+q^1d+q^0d\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$usw.\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$x_n=q^nx_0+d\sum_{i=0}^{n-1}q^i=q^nx_0+d\frac{1-q^n}{1-q}, \quad n=0,1,\ldots$$

Asymptotisches Verhalten

$$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\frac{d}{1-q}=x^{\ast} \text{ für } |q|<1$$ $$\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\infty \text{ für } q>1.$$

Systeme linearer Entwicklungsmodelle

\(x\) und \(y\) seien zwei Variablen an Zeitpunkten \(t_1,t_2,\ldots\) Weiter sei \(x_n=x(t_n)\) der Wert von \(x\) am Ende der \(n\)-ten Periode \((t_{n-1},t_n]\) und \(y_n=y(t_n)\) der Wert von \(y\) am Ende der \(n\)-ten Periode \((t_{n-1},t_n]\). \((x_n,y_n)\) heißt Zustand des Systems zur Zeit \(t_n\) und $$\textbf{z}_n=\left(\begin{aligned}x_n\\y_n\end{aligned}\right) \in \mathbb{R}^2$$ Zustandsvektor.

Es sei \(\textbf{z}_{n+1}=\textbf{Az}_n+\textbf{b}\) für \(n=1,2,\ldots\) Ein Zustandsvektor \(\textbf{z}^{\ast}\) heißt Gleichgewichtsvektor, wenn $$\textbf{z}^{\ast}=\textbf{Az}^{\ast}+\textbf{b}.$$ Auflösen nach \(\textbf{z}^{\ast}\) ergibt $$(\textbf{I}-\textbf{A})\textbf{z}^{\ast}=\textbf{b},$$ d.h. \(\textbf{z}^{\ast}\) ist Lösung des Gleichungssystems \((\textbf{I}-\textbf{A})\textbf{x}=\textbf{b}\). Ist \((\textbf{I}-\textbf{A})\) invertierbar, dann ist \(\textbf{z}^{\ast}=(\textbf{I}-\textbf{A})^{-1}\textbf{b}=-(\textbf{A}-\textbf{I})^{-1}\textbf{b}\).

Lösungsfolge

Homogener Fall: \(\textbf{z}_{n+1}=\textbf{Az}_n\) \((\textbf{b}=\textbf{0})\). Sei $$\textbf{z}_n=c\textbf{v}\lambda^n.$$ Dann ist \(\textbf{Az}_n=\textbf{A}(c\textbf{v}\lambda^n)=c\lambda^n\textbf{Av}\) und \(\textbf{z}_{n+1}=c\textbf{v}\lambda^{n+1}\). Gleichsetzen führt auf \(\textbf{Av}=\lambda\textbf{v}\).

Gilt für einen Vektor \(\textbf{v}\neq\textbf{0}\) und eine Zahl \(\lambda\in\mathbb{R}\) $$\textbf{Av}=\lambda\textbf{v},$$ dann heißt \(\textbf{v}\) Eigenvektor und \(\lambda\) Eigenwert von \(A\).

1. \(\textbf{Av}=\lambda\textbf{v} \Leftrightarrow (\textbf{A}-\lambda\textbf{I})\textbf{v}=\textbf{0} \Rightarrow \underbrace{\det(\textbf{A}-\lambda\textbf{I})}_{\text{Polynom in }\lambda}=0.\)
2. Mit diesem \(\lambda\) erhält man ein lineares Gleichungssystem, das auf \(\textbf{v}\) führt.