18 - Quantile

Ein (empirisches) $p$-Quantil, $p\in(0,1)$, eines Datensatzes $x_1,\ldots,x_n$ ist ein Wert $\tilde{x}_p\in\{x_1,\ldots,x_n\}$, sodass

mindestens $p\cdot100\%$ der Beobachtungen kleiner oder gleich $\tilde{x}_p$ sind, und zugleich
mindestens $100\cdot(1-p)\%$ der Beobachtungen größer oder gleich $\tilde{x}_p$ sind.

Fälle

$np\in\mathbb{N}$: $x_{(np)}$ und $x_{(np+1)}$ sind $p$-Quantile. Metrische Skalierung: jede Zahl dazwischen ist ebenfalls $p$-Quantil.
$np\notin\mathbb{N}$: $\tilde{x}_p=x_{(\lfloor np\rfloor+1)}$ ist das eindeutige $p$-Quantil.

Quartile

Das 0.25-Quantil heißt erstes oder unteres Quartil $Q_1$, das dritte Quartil $Q_3$ ist das 0.75-Quantil. Der Median ist das zweite Quartil $Q_2$.

Zusammen mit dem Minimum und dem Maximum der Beobachtungen wird der Datensatz durch diese drei Quantile in vier Bereiche mit gleichen Anteilen aufgeteilt.

Quartilsabstand

Der Quartilsabstand (engl.: interquartile range) ist gegeben durch $$\text{IQR}=Q_3-Q_1.$$

Fünf-Punkte-Zusammenfassung

Die Fünf-Punkte-Zusammenfassung eines Datensatzes besteht aus dem Minimum $x_{\text{min}}$, dem ersten Quartil $Q_1=\tilde{x}_{0.25}$, dem Median $x_{\text{med}}$, dem dritten Quartil $Q_3=\tilde{x}_{0.75}$ und dem Maximum $x_{\text{max}}$.

Boxplot

Ein Boxplot ist eine grafische Darstellung der Fünf-Punkte-Zusammenfassung. Hierbei wird eine Box von $Q_1$ bis $Q_3$ gezeichnet, die beim Median einen vertikalen Strich enthält. An die Box werden Striche (Whiskers) angesetzt, die bis zum Minimum $x_{\text{min}}$ bzw. Maximum $x_{\text{max}}$ reichen.

Beobachtungen, die unterhalb der Grenze $$Q_1-1.5\cdot(Q_3-Q_1)$$ bzw. oberhalb der Grenze $$Q_3+1.5\cdot(Q_3-Q_1)$$ liegen, heißen äußere Beobachtungen. Die Grenzen nennt man innere Zäune, wählt man statt dem Faktor 1.5 den Faktor 3, erhält man die äußeren Zäune.

QQ-Plot

Gegeben seien zwei Datensätze $$x_1,\ldots,x_n \quad \text{und} \quad y_1,\ldots,y_m.$$ Die Datensätze sollen verglichen werden, indem verschiedene $p$-Quantile gegeneinander aufgetragen werden. Für $n=m$ werden die $p_i$-Quantile mit $$p_i=i/n, \quad i=1,\ldots,n,$$ benutzt, welche gerade die Ordnungsstatistiken $x_{(i)}$ und $y_{(i)}$ sind. Ist $n\neq m$, werden die $p_i$-Werte des kleineren Datensatzes verwendet. Der QQ-Plot kann wie folgt interpretiert werden:

In Bereichen, in denen die Punkte unterhalb der Winkelhalbierenden liegen, sind die $x$-Quantile größer als die $y$-Quantile, d.h., dass die $y$-Verteilung mehr Masse bei den kleinen Werten hat als die $x$-Verteilung.
Wenn die Punkte (nahezu) auf einer Geraden liegen, dann können die Datensätze durch eine lineare Transformation $y_i=a+b\cdot x_i$ ineinander überführt werden (Lage- und Skalenänderung).