05 - Integration

Sei $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine Funktion und $a=x_0 < \ldots < x_n = b$ eine Partition von $[a,b]$. Mit $x_i^{\ast} \in (x_{i-1},x_i]$ ist durch $$R_n(f) = \sum_{i=1}^n \, f(x_i^{\ast})(x_i - x_{i-1})$$ die Riemann-Summe von $f(x)$ zu den Stützstellen $x_1^{\ast},\ldots,x_n^{\ast}$ definiert. Die Obersumme erhält man, in dem man die $x_i^{\ast}$ jeweils als Maximum der Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $(x_{i-1},x_i]$ wählt, die Untersumme ergibt sich, wenn die $x_i^{\ast}$ jeweils als Minimum der Funktion $f(x)$ auf dem Intervall $(x_{i-1},x_i]$ gewählt werden.

Die Funktion $f$ heißt (Riemann-) integrierbar auf $[a,b]$, wenn Obersumme und Untersumme für $\max_{i=1,\ldots,n}|x_{i-1}-x_i| \rightarrow 0$, $n \rightarrow \infty$, gegen den gleichen Wert $I$ konvergieren. Das (Riemann-) Integral ist dann definiert durch $$\int_a^b \, f(x)dx = I.$$

Insbesondere ist jede (stückweise) stetige Funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ integrierbar.

Rechenregeln:

$ f, g : D \to \mathbb{R} $ seien integrierbare Funktionen, $ a, b \in D $ und $ c \in \mathbb{R} $.

(1) Konstante Funktionen des Integranden können vor das Integral gezogen werden: $$ \int_a^b c f(x) \, d x = c \int_a^b f(x) \, dx $$

(2) Linearität: Es gilt: $$ \int_a^b ( f(x) + g(x) ) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_a^b g(x) \, dx $$

(3) Regel (1) und (2) liefern: Sind $ c, d $ Konstanten, so gilt: $$ \int_a^b (c f(x) + d g(x) ) \, d x = c \int_a^b f(x) \, dx + d \int_a^b g(x) \, dx $$

(4) Für jedes $ c $ mit $ a \le c \le b $ gilt: $$ \int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx $$ (Die Flächen addieren sich).

(5) Für $ f(x) \le g(x) $ für alle $ x \in [a,b] $, dann folgt: $$ \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b g(x) \, dx $$

(6) Ist $ f(x) $ beschränkt auf $ [a,b] $, d.h. es gilt für eine Konstante $K$ $$ | f(x) | \le K, \qquad \text{für alle $x \in [a,b]$}, $$ dann folgt: $$ \left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \le K (b-a) $$

(7) Es gilt $$ \int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx $$

Stammfunktionen

Eine Funktion $F(x)$ heißt Stammfunktion von $f(x)$ auf $[a,b]$, wenn für alle $x \in [a,b]$ gilt, dass $F'(x)=f(x)$.

Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$ ist, dann ist auch $F(x)+c$ mit $c \in \mathbb{R}$ eine Stammfunktion von $f(x)$.
$F(x)=\int_a^xf(t)dt$ ist eine Stammfunktion von $f(x)$.
Ist $F(x)$ eine Stammfunktion von $f(x)$, dann gilt $$\int_a^b f(x)dx = F(x)|_a^b = F(b) - F(a).$$

Integrationsregeln

Partielle Integration: $$\int_a^bf'(x)g(x)dx = f(x)g(x)|_a^b - \int_a^bf(x)g'(x)dx.$$
Substitutionsregel: $$\int_a^bf(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)}f(y)dy, \,\,\,y=g(x).$$

Uneigentliches Integral

Sei $b \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$ und $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ auf jedem Teilintervall $[a,c] \subset [a,b)$ integrierbar. Wenn der Grenzwert $$I = \lim_{c \uparrow b}\int_a^cf(x)dx$$ exisiert (oder $\pm\infty$ ist), ist $f(x)$ (uneigentlich) integrierbar auf $[a,b)$ und $I=\int_a^bf(x)dx$ heißt (uneigentliches) Integral von $f$. Analog definiert man für $a \in \mathbb{R} \cup \{-\infty\}$ $$\int_a^bf(x)dx = \lim_{c \downarrow a}\int_c^bf(x)dx.$$