01 - Folgen, Summen und Reihen

Folgen

Eine Folge $ (a_i)_{i \in \mathbb{N}} $, $$ a_1, a_2, \dots, $$von reellen Zahlen heißt Folge. Der Index $i$ durchläuft die Indexmenge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$. Oft tritt auch $\mathbb{N}_0$ als Indexmenge auf. Allgemeiner betrachtet man Indexmengen $I \subset \mathbb{N}_0$. Ist die Indexmenge endlich, dann heißt die Folge endlich.

Eigenschaften einer Folge $ ( a_n )_{n \in \mathbb{N}} $:

monoton wachsend: $ a_n \le a_{n+1} $ für alle $ n $
streng monoton wachsend: $ a_n < a_{n+1} $ für alle $ n $
monoton fallend: $ a_n \ge a_{n+1} $ für alle $ n $
streng monoton fallend: $ a_n > a_{n+1} $ für alle $ n $
beschränkt nach oben: Es gibt eine Zahl $ C > 0 $ mit $ a_n \le C $ für alle $ n $
beschränkt nach unten: Es gibt eine Zahl $ C < 0 $ mit $ a_n \ge C $ für alle $ n $
beschränkt: Es gibt eine Zahl $ C > 0 $ mit: $ | a_n | \le C $ für alle $ n $

Jede monoton wachsende oder monoton fallende Folge, die zusätzlich beschränkt ist, konvergiert.

Rechnen mit konvergenten Folgen:

$$ \lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n $$
$$ \lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n - \lim_{n \to \infty} b_n $$
$$ \lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n $$
Falls $ \lim_{n \to \infty} b_n \not= 0 $, dann gilt $$ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{ \lim_{n \to \infty} a_n }{ \lim_{n \to \infty} b_n }$$

Summen

Die Summe von $ n $ Zahlen $ x_1, \dots, x_n $ wird mit $$ \sum_{i=1}^n x_i = x_1 + \dots + x_n $$ notiert.

Endliche geometrische Summe:

$$ \sum_{i=\color{red}{0}}^n x^i = \frac{1-x^{n+1}}{1-x} $$

Weitere Summen:

$$ \sum_{i=1}^n i = \frac{ n(n+1) }{ 2 } $$

$$ \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{ n(n+1)(2n+1) }{ 6 } $$

Reihen

Die Folge der sukzessiven Summen der Zahlen $ a_0, a_1, \dots $, d.h. der Partialsummen

$$ s_n = \sum_{k=0}^n a_k, \qquad n = 0, 1, 2, \dots, $$ heißt Reihe. Notation: $ s_n, n \in \mathbb{N}_0 $ oder auch $ \sum_{k=0}^\infty a_k $. Die Summation kann auch bei $ 1 $ beginnen.

Die Reihe konvergiert gegen $s$, wenn $ s_n \to s, n \to \infty $. Man schreibt dann: $ \sum_{k=0}^\infty a_k = s $. Wenn $ \sum_{k=0}^\infty |a_k|$ konvergiert, heißt die Reihe absolut konvergent. Wenn die Reihe nicht konvergiert, heißt sie divergent.

Quotientenkriterium

Ab $ n_0 \in \mathbb{N}_0 $ gelte $ a_k \not= 0 $ für $ k \ge n_0 $. Gilt für ein $ q \in (0,1) $

$$ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \le q, \qquad \text{für alle $ k \ge n_0 $} $$ oder $$ \lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = q, $$ dann konvergiert die Reihe $ s_n = \sum_{k=0}^n a_k, n = 0,1,2, \dots $

Gilt $$ \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \ge 1, \qquad \text{für $ k \ge n_0 $}, $$ dann konvergiert die Reihe nicht gegen eine reelle Zahl.

Exponentialreihe

$$ e^x = \exp(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}, \qquad x \in \mathbb{R}. $$

Geometrische Reihe

$$ \sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}, \qquad \text{für alle reellen Zahlen $x$ mit $ |x| < 1 $} $$