02 - Funktionen

Funktionen

Eine Funktion $$ f: D \rightarrow W $$ ordnet jedem Element $x \in D$ eine Zahl $y=f(x)$ zu. Die Menge $D\subset\mathbb{R}$ heißt Definitionsbereich, die Menge $W=\{f(x)|x\in D\}\subset\mathbb{R}$ heißt Wertebereich.

Wenn $$f: D \rightarrow W \,\,\,\,\,\,\text{und}\,\,\,\,\,\, g: E \rightarrow V$$ Funktionen mit $W \subset E$ sind, dann ist die Funktion $y=g(f(x))$ für alle $x \in D$ definiert und heißt Komposition oder Verkettung von $f$ und $g$.

Eine Funktion $$ f: D \rightarrow W $$ heißt umkehrbar, wenn es zu jedem $y \in W$ genau ein $x \in D$ mit $y=f(x)$ gibt. Die Umkehrfunktion $f^{-1}: W \rightarrow D$ wird dann durch $f^{-1}(y)=x$ definiert.

Es gilt $f(f^{-1}(y))=y$ und $f^{-1}(f(x))=x.$
Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar.

Polynome und Potenzfunktionen

Eine Funktion $p:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ mit $$p(x)=a_0+a_1 \cdot x+a_2\cdot x^2+\ldots+a_n\cdot x^n$$ heißt Polynom vom Grad $n$ oder ganz-rationale Funktion.

$a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{R}$ heißen Koeffizienten.
Zwei Polynome sind gleich, wenn ihre Koeffizienten gleich sind.
Wenn $x_1$ eine Nullstelle eines Polynoms $f(x)$ ist, dann gilt $f(x)=(x-x_1)g(x)$ für ein Polynom $g(x)$ vom Grad $n-1$.

Gebrochen-rationale Funktionen

Sind $p(x)$ und $q(x)$ zwei Polynome, wobei $q(x)$ keine Nullstellen in der Menge $D$ hat, dann ist die Funktion $$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}, \,\,\, x\in D,$$ wohldefiniert und wird gebrochen-rationale Funktion genannt. Die Nullstellen des Polynoms $q(x)$ sind dann Polstellen (senkrechte Asymptoten) der Funktion $f(x)$.

Wurzelfunktion

Für $x\in[0,\infty)$ und $n\in\mathbb{N}$ ist die Funktion $f(x)=x^n$ streng monoton steigend und daher umkehrbar. Die Umkehrfunktion $f^{-1}(y)=\sqrt[n]{y}$ heißt $n$-te Wurzelfunktion und ist die eindeutige Lösung der Gleichung $y=x^n$ auf dem Wertebereich $[0,\infty)$.

Potenzfunktion

Für $a\neq0$ heißt die Funktion $f(x)=x^a$ Potenzfunktion. Der maximale Definitionsbereich ist $[0,\infty)$ für $a>0$, und $(0,\infty)$ für $a<0$.

Exponentialfunktion

Für $b>0$ und $x\in\mathbb{R}$ heißt die durch $$f(x)=b^x$$ gegebene Funktion allgemeine Exponentialfunktion zur Basis $b$.

Exponentialfunktion und Logarithmus

Durch $e\approx2.718282$ erhält man die streng monoton wachsende Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ mit Wertebereich $(0,\infty)$. Die Umkehrfunktion $y=\ln(x)$ heißt natürlicher Logarithmus und hat $(0,\infty)$ als Definitionsbereich.

Beziehungen zwischen (allgemeiner) Exponentialfunktion und Logarithmus

Es gilt $y=e^x \Leftrightarrow x=\ln(y)$.
Für $b>0$ und $x\in\mathbb{R}$ gilt $$b^x=e^{x\cdot \ln(b)}.$$
Für $y>0$ und $b\neq1$ ist die Umkehrfunktion von $y=b^x$ daher $x=\log_b(y)=\frac{\ln(y)}{\ln(b)}$.

Rechenregeln für die Exponentialfunktion

$e^0=1$, $e^x>1$ für $x>0$, $0<e^x<1$ für $x<0$.
$e^{-x}=1/e^x$.
$e^{x+y}=e^x\cdot e^y$, $e^{x-y}=e^x/e^y$.
$(e^x)^y=e^{x\cdot y}$.

Rechenregeln für den Logarithmus

$\ln(1)=0$.
$\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)$, $\ln(x/y)=\ln(x)-\ln(y)$.
$\ln(x^y)=y\ln(x)$ für $x>0$ und $y\in\mathbb{R}$.

Sinus und Kosinus

Der Einheitskreis im $\mathbb{R}^2$ ist der Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt $(0,0)$. Zu jeder Zahl $t\in[0,2\pi]$ gibt es einen Punkt $(x,y)$ auf dem Einheitskreis, sodass die Länge der Kreislinie zwischen dem Punkt $(1,0)$ und dem Punkt $(x,y)$ - gegen den Uhrzeigersinn laufend - genau $t$ beträgt. Die Koordinaten werden mit $x=\sin(t)$ und $y=\cos(t)$ bezeichnet. Dadurch werden für $x\in[0,2\pi]$ zwei Funktionen $\sin(x)$ und $\cos(x)$ definiert, die Sinus und Kosinus heißen.

Eigenschaften von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus sind $2\pi$-periodisch: $\sin(x)=\sin(x+2\pi)$, $\cos(x)=\cos(x+2\pi)$.
$\sin(x+\pi)=-\sin(x)$, $\cos(x+\pi)=-\cos(x)$.
Nullstellen Sinus: $ \sin(x) = 0 $ für Vielfache von $ \pi $, d.h. $ x = k \pi $, mit $ k \in \mathbb{Z} $.
Nullstellen Kosinus: $ \cos(x) = 0 $ für $ x = k \pi + \pi/2 $ für $ k \in \mathbb{Z} $.
Sinus ist ungerade: $\sin(x)=-\sin(-x)$, Kosinus ist gerade: $\cos(x)=\cos(-x)$.
Satz des Pythagoras: $(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1$.
$|\sin(x)|\leq1$, $|\cos(x)|\leq1$.
Halber Winkel: $(\sin(x))^2=\frac{1}{2}(1-\cos(2x))$, $(\cos(x))^2=\frac{1}{2}(1+\cos(2x))$.

Additionstheoreme

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$.
$\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$.
$\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$.
$\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)$.

Sonstige Funktionen

Die Indikatorfunktion oder charakteristische Funktion $\mathbb{1}_I$ einer Menge $I$ ist gegeben durch $$\mathbb{1}_I=\mathbb{1}(x\in I)=\left\{ \begin{aligned}1 \,, x\in I \\ 0 \,, x\notin I\end{aligned} \right.\,.$$

Konvergenz von Funktionen

Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ hat in einem Punkt $a\in\mathbb{R}$ den Grenzwert $c$, wenn für jede Folge $(x_n)_n$ mit $x_n\in D$ für alle $n$ und $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$ gilt, dass $\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c$. Man sagt dann, dass die Funktion $f$ für $x\rightarrow a$ gegen $c$ konvergiert und schreibt $$\lim_{x\rightarrow a}\,f(x)=c.$$

Einseitiger Grenzwert

$c$ heißt linksseitiger Grenzwert im Punkt $a$, wenn für alle Folgen $(x_n)_n$ mit $x_n\in D$ und $\color{red}{x_n\leq a}$ für alle $n$ sowie $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$ gilt, dass $\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c$. Notation: $$f(a-)=\lim_{x\uparrow a}\,f(x)=c.$$ $c$ heißt rechtsseitiger Grenzwert im Punkt $a$, wenn für alle Folgen $(x_n)_n$ mit $x_n\in D$ und $\color{red}{x_n\geq a}$ für alle $n$ sowie $\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=a$ gilt, dass $\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=c$. Notation: $$f(a+)=\lim_{x\downarrow a}\,f(x)=c.$$ $\pm\infty$ ist als Grenzwert jeweils zugelassen.

Sind $f(a-)$ und $f(a+)$ endlich mit $f(a-)\neq f(a+)$, dann hat $f(x)$ in $a$ einen Sprung der Höhe $f(a+)-f(a-)$.

Stetigkeit von Funktionen

Eine Funktion $f:D\rightarrow\mathbb{R}$ heißt stetig im Punkt $x\in D$, wenn für alle Folgen $(x_n)_n$ mit $x_n\rightarrow x$, $n\rightarrow\infty$, gilt, dass $f(x_n)\rightarrow f(x)$, $n\rightarrow\infty$. $f(x)$ heißt stetig, wenn $f$ in allen Punkten $x\in D$ stetig ist.

Eigenschaften

Eine Funktion $f$ ist genau dann stetig in $x$, wenn $f(x-)=f(x+)=f(x)$.
Seien $f(x)$ und $g(x)$ stetige Funktionen. Dann sind $f(x)\pm g(x)$, $f(x)\cdot g(x)$ und $f(x)/g(x)$ für $g(x)\neq0$ stetig. Wenn $f(g(x))$ definiert ist, dann ist auch $f(g(x))$ stetig.
Alle Polynome und gebrochen-rationalen Funktionen sind stetig.
$e^x$ und $\ln(x)$ sowie $|x|$ sind stetig.

Potenzreihen

Seien $x\in\mathbb{R}$ und $a_k\in\mathbb{R}$, $k\in\mathbb{N}_0$. Dann heißt $$f(x)=\sum_{k=0}^\infty \,a_k(x-x_0)^k$$ formale Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $x_0$.

$f(x)$ konvergiert nur für $x=0$, auf einem ganzen Intervall $I\subset\mathbb{R}$ oder auf ganz $\mathbb{R}$.
Wenn es eine Zahl $R>0$ gibt, sodass $f(x)$ für alle $|x-x_0|<R$ absolut konvergiert und für $|x-x_0|>R$ divergiert, dann heißt $R$ Konvergenzradius, und es gilt $$R=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}.$$