Funktionen2see
Abbildung
Eine Funktion bezeichnet eine Beziehung zwischen zwei Mengen, bei der ein Element der einen Menge durch die Funktion genau ein Element der anderen Menge zugeordnet wird.
Definition
Eine Funktion $f$ ordnet jedem Element $x$ einer Definitionsmenge $D$ genau ein Element $y$ einer Zielmenge $Z$ zu.
Schreibweise:
\[f \colon D \to Z ,~ x \mapsto y.\]
Für das dem Element $x \in D$ zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen $f(x)$.
Beispiel:
Die Identitätsabbildung $x \mapsto x$ bildet jedes Element auf sich selber ab. Entsprechend sind Definitionsmenge und Zielmenge identisch.
Eine lineare Funktion $f: D \to Z,~x\mapsto a\cdot x + b$ bildet $x$ auf einer Gerade mit Ursprung $b$ und Steigung $a$ ab.
Die Funktion $f: D \to Z,~x \mapsto \sqrt{x}$ ist nur wohldefiniert, wenn $Z$ so gewählt wird, dass jedes $x$ nur auf genau einen Wert abgebildet wird.
Die Wahl $D=\mathbb{R}^+$ und $Z=\mathbb{R}$ ist nicht zulässig, in dem Fall erhalten wir folgendes Bild:
Der Punkt $x_0=1$ wird abgebildet auf $-1$ und $+1$, damit ist die Zuordnung nicht eindeutig.
Wählen wir hingegen $Z=\mathbb{R}^+$, dann wird zu jedem $x \in D$ genau ein $y \in Z$ zugeordnet:
Bemerkung:
Der Umkehrschluss muss nicht gelten: für jedes $y_0 \in Z$ kann mehr als ein $x_0 \in D$ geben, für welches gilt, dass $f(x_0)=y_0$.
In dem Falle ist die Funktion jedoch nicht invertierbar.
Beispiel: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+,~x\mapsto x^2$
Definitionbereich und Bildbereich
Wir führen im Folgenden noch ein paar weitere grundlegende Begriffe ein:
Definition
Der Definitionsbereich ist die Menge aller x-Werte, für die die Abbildung wohldefiniert ist.
Als Bild- oder Wertebereich bezeichnet man die Menge der y-Werte, die von der Abbildung angenommen werden können.
Beispiele:
Für negative x-Werte ist die Logarithmus-Funktion nicht definiert. Damit ist $D=\mathbb{R}\setminus (-\infty,0]$ der Definitionsbereich von $f(x)=\log(x)$.
Die Funktion $$f(x)=\frac{1}{x-1}$$ ist für $x=1$ nicht definiert, der Definitionsbereich lautet also $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
Konvergenz
Definition Grenzwerte von Funktionen:
linksseitiger Grenzwert: $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=g$
rechtsseitiger Grenzwert: $\lim_{x \to x_0^+}f(x)=g$.
Was bedeutet $x\to x^+$ und $x\to x^-$?
Allgemein: Es gilt $\lim_{x \to x_0^-}f(x)=g$, wenn für alle existierenden Folgen $x_n \geq 0$ mit $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ gilt:
\[\lim_{n\to\infty}f(x_0-x_n)=g.\]
Analog gilt $\lim_{x \to x_0^+}f(x)=g$,
wenn für alle existierenden Folgen $x_n \geq 0$ mit $\lim_{n\to\infty}x_n=0$ gilt:
\[\lim_{n\to\infty}f(x_0+x_n)=g.\]
Beispiel: Sei $$f(x)=\begin{cases} 0, &x<0 \\ 1, &x> 0.\end{cases}$$
Diese Funktion hat einen Sprung bei $x_0=0$.
Betrachten wir nun eine Folge $x_n=\frac{1}{n}$. Dann ist $\lim_{n\to\infty} x_n =0$ und
\[\lim_{n\to\infty} f(x_0-x_n)=0,\]
denn: $x_n$ wird niemals genau gleich Null, egal wie groß $n$ ist. Daher ist $x_0-x_n$ selbst für sehr große $n\in \mathbb{N}$ immer noch kleiner Null und somit $f(x_0-x_n)=0$.
Andersrum gilt hingegen
\[\lim_{n\to\infty} f(x_0+x_n)=1,\]
da $x_0+x_n$ immer größer Null ist und $f(x)=1$ für $x > 0$.
Der Grenzwert einer Funktion im Punkt $x_0$ existiert genau dann, wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert existieren. Wir schreiben dann $\lim_{x\to x_0}f(x)=g$.
Manchmal ist es gar nicht so einfach, den Grenzwert einer Funktion in einem bestimmten Punkt zu bestimmen. Zum Beispiel, wenn wir $f(x)=\frac{\log(x)}{x}$ haben und $\lim_{x\to \infty}f(x)$ bestimmen wollen. Sowohl $x$ als auch $\log(x)$ gehen für $x\to\infty$ ebenfalls gegen unendlich. Was aber ist $\frac{\infty}{\infty}$?
Definition L'Hospital:
Falls der Grenzwert $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ existiert, dann ist dieser gleich dem Grenzwert des Ausdrucks $\lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)}{g(x)}}$.
Die Regel wird angewendet in den Fällen $\frac{\infty}{\infty}$, $\frac{0}{0}$, $0\cdot \infty$, $\infty-\infty$, $0^0$, $\infty^0$ und $1^\infty$.
Beispiel 1:
\[\lim_{x\to\infty} \frac{\log(x)}{x} \stackrel{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}{=} \lim_{x\to\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.\]
Beispiel 2:
\[\lim_{x \to 0} x \cdot \log(x)= \lim_{x\to 0} \frac{\log(x)}{1/x} \stackrel{\left[\frac{\infty}{\infty}\right]}{=} \lim_{x\to 0}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to 0} -x = 0.\]
Stetigkeit
Eine "schöne" Eigenschaft einer Funktion ist die Stetigkeit. Stetigkeit ist zum Beispiel eine notwendige Voraussetzung um eine Funktion ableiten zu können (jedoch keine hinreichende, s.u.).
Eine sehr einfache Beschreibung der Stetigkeit lautet: "Eine Funktion ist dann stetig, wenn man sie zeichnen kann ohne abzusetzen."
Es liegt nahe, dass diese "Definition" unvollständig ist und nur unter bestimmten Voraussetzungen gilt.
Solange man jedoch mit reellen Funktionen und einer natürlichen Metrik arbeitet (d.h. der Abstand zwischen zwei Punkten $x$ und $y$ ist gegeben durch |x-y|) ist diese Anschauung schon sehr treffend.
Aber auch in diesem Falle lässt sich die Stetigkeit einer Funktion nicht immer durch angucken feststellen, weswegen eine genauere Definition notwendig ist:
Definition von Stetigkeit in $x_0$: ($\varepsilon$-$\delta$-Kriterium)
Für alle $\varepsilon>0$ existiert ein $\delta>0$, so dass für alle $x\in D$ mit $|x-x_0|<\delta$ gilt: $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$.
Diese Aussage ist äquivalent zu
\[\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)= \lim_{x \to x_0^+}f(x).\]
Eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt $x_0 \in D$ stetig ist.
Frage: ist die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ stetig in Null?
Antwort: ja, denn: $\lim_{x\to 0^-} |x| = 0 = \lim_{x\to 0^+} |x|$.
Der technische Beweis über das $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium ist ebenfalls schnell gezeigt, wenn man verwendet, dass für alle $x,y \in \mathbb{R}$ gilt:
\[||x|-|y||\leq |x-y|.\]
Setze $\delta=\varepsilon$, dann gilt für alle $x \in D$ mit $|x-x_0|<\delta=\varepsilon$:
\[|f(x)-f(x_0)| = ||x|-|x_0|| \leq |x-x_0| < \varepsilon.\]
Da hier $x_0$ beliebig gewählt werden kann, gilt somit die Stetigkeit für alle $x_0 \in D=\mathbb{R}$.
Aber: $f(x)=|x|$ ist in $x_0=0$ nicht differenzierbar! Stetigkeit ist also keine hinreichende Bedingung für Differenzierbarkeit.