Geraden/Ebenen2see

Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnen

Um den Abstand eines Punktes zu einer Geraden im dreidimensionalen Raum zu berechnen, wird in erster Linie ein Lotfußpunktverfahren genutzt. Hier wird das Verfahren mit einer Hilfsebene vorgestellt. Der Vorteil gegenüber einer direkten Formel (siehe unten) liegt darin, dass man neben dem kürzesten Abstand auch den  Punkt auf der Geraden erhält, von dem aus man den kürzestem Weg zum Punkt hat. Die direkte Formel (siehe unten) dagegen liefert nur die Länge des Weges – manchmal reicht das, aber nicht immer.

Ganz wichtig: Gesucht ist immer der kürzeste Abstand von einem Punkt zu einer Geraden. Ein Punkt ist gegeben durch $$P = \begin{pmatrix} p_1\\ p_2\\ p_3 \end{pmatrix} $$ und eine Gerade mit Richtungsvektor $ \vec{h}$  ist gegeben durch $$g: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} q_1\\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} h_1\\ h_2 \\ h_3 \end{pmatrix}\quad \text{ beziehungweise }\quad g: \quad \vec{x} =Q + \lambda \cdot \vec{h}.$$

Die Vorgehensweise bei der Berechnung des minimalen Abstandes mit einer Hilfsebene wird an folgendem Beispiel verdeutlicht:

$$ P = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}\qquad \text{ und } \qquad g: \,\,\,\, \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}.$$

1.  Eine Ebene in Normalenform aufstellen. Diese Ebene soll senktrecht auf der Geraden g stehen und durch den Punkt P verlaufen. Deswegen benutzt man als  Normalenvektor den Richtungsvektor $\vec{h}$ der Geraden g und als Aufpunkt den Punkt P. Dann erhält man $$  E: \,\,\,\,\,\, \vec{h} \,\circ\, \Big[ \vec{x} - P \Big]  \,\,\,=\,\,\,\begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \,\circ\, \left[ \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\ x_3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1\\2 \\ 3 \end{pmatrix}\right].$$ In dieser Formel steht $\circ $ für das Skalarprodukt.
2. Normalenform in Koordinatenform umwandeln (Ausmultiplizieren des Skalarproduktes): $$\begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = (-2)\cdot x_1+2\cdot x_2+1\cdot x_3 = -2x_1 +2x_2 +x_3  $$und$$\begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1\\2 \\ 3 \end{pmatrix} = (-2)\cdot 1+2\cdot 2+1\cdot 3 = 5 . $$So erhält man die Koordinatenform der Ebene (Negatives Vorzeichen nicht vergessen, subtrahiere also das zweite Ergebnis vom ersten)$$ E:\quad-2x_1 +2x_2 +x_3 \,\,\, - 5\,\,\,=\,\,\,0 .\\[2ex]$$
3.  Gerade g in die Koordinatenform der Ebene einsetzen. Das bedeutet, wir formen zuerst die Gerade g um zu$$ g: \,\,\,\, \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 2-2\lambda\\ 0+2\lambda \\ 0+\lambda   \end{pmatrix}, \quad\text{ also }\,\,\, g:\,\,\,\,x_1= 2-2\lambda,\,\,\,x_2= 0+2\lambda,\,\,\,x_3=0+ \lambda .  $$ Diese Ausdrücke werden jetzt in die Koordinatenform der Ebene E eingesetzt: $$ -2x_1 +2x_2 +x_3 - 5\,\,\,\, = \,\,\,\,-2 ( 2-2\lambda)  +2( 0+2\lambda) +( 0+\lambda) - 5 \,\,\,\,=\,\,\,\,0 .\\[2ex]$$
4.  $\lambda$ berechnen, indem man die obige Gleichung nach $\lambda$ umformt: $$ -2( 2-2\lambda)  +2( 0+2\lambda) +( 0+\lambda) - 5 =0 \qquad\Leftrightarrow \qquad9 \lambda =9 \qquad\Leftrightarrow  \qquad \lambda=1.\\[2ex] $$
5.  $\lambda$ in die Geradengleichung einsetzen, sodass man den Schnittpunkt S erhält. Wir setzen $\lambda =1$ in die Geradengleichung $g$ ein und erhalten den Schnittpunkt $$S \,\,\,=\,\,\, \begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \,\,\,=\,\,\,\begin{pmatrix} 2-2\\ 2 \\ 1   \end{pmatrix} \,\,\,=\,\,\,\begin{pmatrix}0\\ 2 \\ 1   \end{pmatrix}.\\[2ex]$$
6.  Verbindungsvektor $\overset{\longrightarrow}{SP}$ zwischen Schnittpunktes S mit dem Punkt P berechnen, durch $$ \overset{\longrightarrow}{SP} = \vec{P}-\vec{S} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\ 2 \\ 1   \end{pmatrix} \,\,\,=\,\,\,\begin{pmatrix}1\\ 0\\2   \end{pmatrix} .\\[2ex]$$
7.  Länge des Verbindungsvektors $\overset{\longrightarrow}{SP}$ berechnen, durch $$ \left\vert \overset{\longrightarrow}{SP} \right\vert \,\,\,=\,\,\, \sqrt{ 1^2 + 0^2 + 2^2}\,\,\, =\,\,\, \sqrt{5} \,\,\,\approx\,\,\, 2,2361.$$

Somit entspricht der minimale Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g etwa 2,2361.

Aufgabe:

Denken Sie sich nun selbst einen Punkt $$P = \begin{pmatrix} p_1\\ p_2\\ p_3 \end{pmatrix} $$ und eine Gerade  $$g: \quad \vec{x} = \begin{pmatrix} q_1\\ q_2 \\ q_3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} h_1\\ h_2 \\ h_3 \end{pmatrix}\quad \text{ beziehungweise }\quad g: \quad \vec{x} =Q + \lambda \cdot \vec{h}$$ aus. Berechnen Sie den minimalen Abstand.

Es gibt eine Formel mit der sich der minimalen Abstand zwischem einem Punkt P und der Geraden $ g:\,\,\, \vec{x} = Q+\lambda \cdot \vec{h} $ direkt berechnen lässt. Diese Formel lässt sich zwar schneller anwenden, liefert aber nicht den Punkt der Geraden, für den die minimale Entfernung entsteht. Sie ist gegeben durch

$$\text{min. Abstand} \,\,\,=\,\,\,\frac{\left\vert  \vec{h} \times \left(\vec{P} - \vec{Q}\right)\right\vert  }{\left\vert  \vec{h} \right\vert }.$$

Hier steht $\times $ für das Kreuzprodukt.

Anhand des obigen Beispiels soll im Folgenden anschaulich verdeutlicht werden, wie man mit dieser Formeln den minimalen Abstand zwischen dem Punkt P und der Geraden g berechnet. Als Ergebnis sollte selbstverständlich das selbe Ergebnis für den minimalen Abstand herauskommen.

Zuerst berechnet man das Kreuzprodukt:

$$\vec{h} \times \left(\vec{P} - \vec{Q}\right) \,\,\,=\,\,\, \begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times\left[ \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right]\,\,\,=\,\,\,\begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times  \begin{pmatrix} -1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}
\\[1ex]=\,\,\, \begin{pmatrix} 2\cdot 3 - 1\cdot 2\\ (-2)\cdot 3 - (-1)\cdot 1  \\ (-2)\cdot 2 - 2\cdot(-1) \end{pmatrix}
\,\,\,=\,\,\, \begin{pmatrix} 4\\ -5  \\ -2 \end{pmatrix}.$$

Als nächstes werden die beiden folgenden Längen berechnet:
$$\left\vert \vec{h} \times \left(\vec{P} - \vec{Q}\right) \right\vert  \,\,\,=\,\,\,\left\vert \begin{pmatrix}4\\ -5  \\ -2 \end{pmatrix}\right\vert  \,\,\,=\,\,\,\sqrt{4^2 + (-5)^2 +(-2)^2} \,\,\,=\,\,\, \sqrt{45}\,\,\,=\,\,\,6,7082$$
und
$$\left\vert \vec{h}  \right\vert  \,\,\,=\,\,\,\left\vert \begin{pmatrix} -2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\vert  \,\,\,=\,\,\,\sqrt{(-2)^2 + 2^2 +1^2} \,\,\,=\,\,\, \sqrt{9}\,\,\,=\,\,\,3.$$
Damit ist der minimale Abstand gegeben durch
$$\text{min. Abstand} \,\,\,=\,\,\,\frac{\left\vert  \vec{h} \times \left(\vec{P} - \vec{Q}\right)\right\vert  }{\left\vert  \vec{h} \right\vert }
\,\,\,=\,\,\, \frac{6,7082}{3} \,\,\,=\,\,\,2,2361.$$

Diese Formel liefert somit den selben minimalen Abstand wie obige Berechnung mit der Hilfsebene.