Meilenstein B1

$$ \frac{\partial}{\partial y} \int_a^b f(x,y) \, dx $$

Lern- und Testfragen A

Das Matrizenprodukt $ \textbf{A} \textbf{B} $ einer $ n \times r $-Matrix $ \textbf{A} $ und einer $ r \times m $-Matrix $ \textbf{B} $ ist die Matrix mit den Einträgen $ c_{ij} = $ $ \sum_{i=?}^{?} $ ____________. Der Zusammenhang zum Skalarprodukt ist gegeben durch ___ = __________
Der Rang einer Matrix ist _______________.
Beschreiben Sie kurz, wie man durch den Gaußalgorithmus die inverse Matrix berechnen kann.
Die Matrix $ \textbf{A} $ sei von vollem Rang. Was kann man dann über die Lösung von $ \textbf{A x} = \textbf{b} $ sagen?
Welchen Zusammenhang zwischen dem Rang einer Matrix $ \textbf{A} $ und dem Rang von $ ( \textbf{A} | \textbf{b} ) $, $ \textbf{b} $ ein Vektor, gibt es, der hinsichtlich der Untersuchung des linearen Gleichungssystems $ \textbf{Ax} = \textbf{b} $ relevant ist?
Ist die erweiterte Koeffizientenmatrix auf obere Dreiecksgestalt überführt, dann gibt es genau eine Lösung, wenn
(a) die letzte Zeile die Form $ 0 ... 0 \bullet * $ hat.
(b) die letzte Zeile die Form $ 0 ... 0 0 0 $ hat.
(c) die letzte Zeile die Form $ 0 ... 0 0 \bullet $ hat.
$ \textbf{a} $ sei ein Spaltenvektor von Bestellmengen der Produkte $ 1, \dots, d $ und $ \textbf{b} $ der Spaltenvektor der Preise der Produkte. Wie hängt dann $ \textbf{a}' \textbf{b} $ mit dem Bestellplan zusammen?
Ergänzen Sie das Gleichungssystem
$$
\begin{align*}
x_1 + 2 x_2 & = 2 \\
2 x_2 - x_3 & = 2
\end{align*}
$$
so, dass
(a) genau ein Lösungsvektor resultiert.
(b) keine Lösung existiert.
Welchen Fall gibt es noch?
Warum wird die Lösung von (linearen) Gleichungssystemen durch Mengen beschrieben?
(a) Weil Mengen Grundbausteine der Mathematik sind.
(b) Da es mehr als eine Lösung geben kann.
(c) Die Lösung kann auch durch Vektoren beschrieben werden.
Welche Ausdrücke liefern für alle Einsetzungen dasselbe Ergebnis, wenn $ \textbf{A} $ invertierbar ist?
$$
(\textbf{A}+\textbf{B}) \textbf{x}, \ ( \textbf{B} + \textbf{I} + \textbf{A}) \textbf{x}, \ \textbf{A}( \textbf{I} + \textbf{A}^{-1} ) \textbf{x}, \ (\textbf{I} + \textbf{BA}^{-1})\textbf{A} \textbf{x}
$$
Die Matrix $ \textbf{A} $ sei gegeben durch
$$
\textbf{A} = 2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) ( 1, -1 )
$$
Wie lauten die Einträge von $ \textbf{A} $? Geben Sie einen Vektor $ \textbf{x} $ an, so dass $ \textbf{A} \textbf{x} = 0 $ gilt.
Was versteht man im Zusammenhang mit der Lösung von linearen Gleichungssystemen under "freien Parametern" und "Stufenvariablen"?
Ihr Arbeitsgruppenleiter erteilt Ihnen den Auftrag, auf höchstens drei Folien darzustellen, wie für einen zweistufigen Produktionsprozess
4 Rohstoffe $ \to $ 3 Vorprodukte $ \to $ 2 Endprodukte
die benötigten Rohstoffmengen aus den gegebenen Input-Output-Matrizen ermittelt werden können.
Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:
$$
\textbf{A} = ( 5 ), \ \textbf{A} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 1 & 3 \end{array} \right), \ \textbf{B} = \left( \begin{array}{cc} 4 & 6 \\ 1 & 2 \end{array} \right)', \ \textbf{B}^2, \ \textbf{B}^{1000}
$$
Betrachte $ \textbf{A} \textbf{x} = 3 \textbf{b} $. Für welche $ \textbf{b} $ ist $ \textbf{x} $ ein Eigenvektor von $ \textbf{A} $? Wie lautet der zugehörige Eigenvektor?

Lern- und Testfragen B

Eine Folge von Vektoren konvergiert, wenn
(a) alle Koordinatenfolgen konvergieren.
(b) alle einzelnen Vektoren konvergieren.
Eine Funktion $ f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ ist stetig, wenn
(a) $ f( \bullet ) $ und $ \max $ vertauschbar sind.
(b) $ f( \bullet ) $ und $ \lim $ vertauschbar sind.
(c) es für alle $ \varepsilon < 0 $ ein $ \delta > 0 $ gibt, so dass aus $ |f(x)-f(y)|<\varepsilon $ folgt, dass $ |x-y| < \delta $ ist.
(d) $ f( \bullet ) $ und $ \lim $ für $ n \to 0 $ vertauschbar sind.
Der Gradient ist der Zeilenvektor bestehend aus ________________________.
Berechnen Sie die Gradienten der folgenden Funktionen
$$
f(x,y) = x + y^2, \ g(x,y) = e^{f(x,y)}, \ G(x,y) = \sqrt{ f(x,y) }, \ h(x,y,z) = \ln( f(x,y) + z^3 ).
$$
Hinweis: Schreiben Sie die Funktionen zunächst explizit hin (indem Sie $ f(x,y) $ einsetzen).
Wie lauten die Definitionsbereiche der folgenden Funktionen?
$ f(x,y) = \sqrt{x-2} + \sqrt{y+1} $
$ g(x,y) = \sqrt[3]{x-2} + \sqrt{y+1} $
$ h(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2} $
Ihr Bereichsleiter ist mit der Entwicklung der Kosten des Produkts P unzufrieden. Die Kosten hängen nach einer neuen Analyse durch eine (bekannte) zweimal stetig differenzierbare Funktion von dem Ölpreis, der Produktionsmenge (in Litern), dem Throughput (in produzierten Stück pro Stunde), der Laufzeit der Produktionsanlage (pro Tag) und den Lohnkosten pro Stunde ab. Zu berücksichtigen ist stets, dass die Produktionsanlage einen begrenzten Throughput hat und maximal in zwei Schichten pro Tag produziert werden kann. Sie erhalten den Auftrag, Lösungsansätze zur Bestimmung eines besseren Produktionsplans auszuarbeiten und übersichtlich darzustellen.
Die Reihenfolge bei der Bildung von partiellen Ableitungen 2. Ordnung kann vertauscht werden, wenn _______________________________.
Ihr Projektmathematiker beauftragt Sie, kurze Definitionen bzw. Erläuterungen der folgenden Begriffe zusammen zu stellen, jeweils versehen mit einem leichten Beispiel:
(a) partielle Ableitung von $ f(x,y) $ nach $ x $.
(b) partielle Ableitung $ \frac{ \partial^2 f(x,y) }{ \partial x^2 } $.
Gegeben sei $ f(x,y) = x^2 + y^2 $. Für welche $ x $ und $ y $ gilt:
$$
\frac{ \partial^2 f(x,y) }{ \partial x \partial y } + \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial x } - f_{yx}(x,y) - \frac{ \partial f(x,y) }{ \partial y } = 0
$$
Die Einwohnerzahl einer Stadt nehme von Jahr zu Jahr um $ 2 \% $ ab, wobei jedes Jahr $ 20 $ Bewohner von außerhalb hinzukommen. Geben Sie den Gleichgewichtswert an.
Wie lautet die Hesse-Matrix von $ f(x,y) = x^3 - 3 x y^2 + \sin(x) $? Wie lautet die Jacobi-Matrix und welche Dimension hat diese?
Das innere Integral von $ \int_0^1 \int_0^2 x y^2 \, d x \, dy $ lautet _________________ und ergibt _____________________. Somit berechnet sich das äußere Integral zu _________________________.
Korrigieren und Vervollständigen Sie die folgende Verfahrensvorschrift:
(1) Lagrange-Funktion $ L $ zur ______ $ f(x,y) $ und Restriktion $ g(x,y) = ? $ aufstellen.
(2) Gleichgewichte von $ L $ bestimmen.
(3) Hesse-Matrix von $ L $ berechnen.
(4) Stationäre Punkte von $ H $ in die Jacobi-Matrix einsetzen und auf vollen Rang prüfen.