04 - Taylorpolynom und Taylorentwicklung

Taylorpolynom mit Restglied

Die Funktion \(f(x)\) sei in \(x_0\) \(n\)-mal differenzierbar. Dann heißt $$P_n(f,x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}}{n!}(x-x_0)^n$$ Taylorpolynom von \(f(x)\) an der Stelle \(x_0\). Der Term \(R_n(f,x) = |f(x) - P_n(f,x)|\) wird Restglied genannt und stellt den Approximationsfehler dar.

Für \(x\)-Werte mit \(|x-x_0|\leq c\), \(c >0\), gilt $$R_n(f,x) = |f(x) - P_n(f,x)| \leq \frac{c^{n+1}}{(n+1)!}\max_{t \in [x_0-c,x_0+c]}|f^{(n+1)}(t)|,$$ wenn \(f\) (n+1)-mal differenzierbar ist.

Taylorreihe

Sei \(f: (a.b) \rightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion, die für alle \(x\) mit \(|x-x_0| < R\) \((R > 0)\) durch eine Potenzreihe $$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \, a_k(x-x_0)^k$$ darstellbar ist. Dann heißt diese Potenzreihe Taylorreihe von \(f\) mit Entwicklungspunkt \(x_0\), und es gilt \(a_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\).