Differentiation2See - Ableitung der Umkehrfunktion
Für die Ableitung einer bijektiven (d.h. umkehrbaren bzw. invertierbaren) Funktion $f: D \mapsto \mathbb R$ gilt folgende Regel:
Wenn $f$ im Punkt $x \in D$ differenzierbar ist und $f'(x) \neq 0$ ist (d.h. die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $x$ darf nicht waagerecht sein), dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ differenzierbar an der Stelle $y = f(x)$ und es gilt
\begin{align*} (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))} = \frac{1}{f'(x)} = (f'(x))^{-1} \end{align*}
Die Umkehrfunktion ist hierbei Funktion, die jedem Element der Zielmenge sein eindeutiges Element aus der Urbildmenge zuweist.
Anschaulich lässt sich dies so einsehen: Bei der Bildung der Umkehrfunktion werden die Rollen der $x$ - und $y$ - Koordinaten vertauscht und der Graph von $f$ wird an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten gespiegelt. Weil die Steigung der Tangente im Punkt $(x,f(x))$ des Graphens gerade dem Tangens zwischen dem Neigungswinkel $\alpha$ einer Parallelen zur $x$ - Achse und der Tangente in diesem Punkt entspricht (und die Ableitung als Steigung der Tangente in diesem Punkt definiert ist), können wir die Ableitung $f'$ auch durch
\begin{align*} f'(x) = \tan(\alpha) \end{align*}
berechnen. Der Neigungswinkel $\alpha$ tritt dabei auch als Gegenwinkel zum Neigungswinkel $\beta$ auf, wobei $\beta$ den Winkel zwischen der Tangente an den Punkt $(f(x),f^{-1}(f(x)))$ (also $(f(x),x)$) des Graphens der Umkehrfunktion $f^{-1}$ und einer Parallelen zur $x$ - Achse bezeichnet. Aus den Eigenschaften des Tangens ergibt sich dann folgende Berechnungsmöglichkeit für die Ableitung:
\begin{align*} f'(x) = \tan(\alpha) = \tan(90° - \beta) = \frac{1}{\tan(\beta)} \end{align*}
In der folgenden Abbildung ist die Funktion $f(x) = \log(x)$ in roter Farbe zusammen mit ihrer Umkehrfunktion $f^{-1}(y) = e^y$ in blauer Farbe dargestellt. Zusätzlich sind auch die beiden Neigungswinkel $\alpha$ und $\beta$ eingezeichnet.
Im nächsten Teil des Tutorials möchten wir näher auf die Optimierung von Funktionen mithilfe der Ableitung und die Bestimmung des Monotonieverhaltens eingehen: