Differentiation2See - Optimierung und Monotonieverhalten
Die Bestimmung von Extremwerten ist eine wichtige Anwendung der Differentialrechnung. Unter Extremwerten versteht man Maxima und Minima von Funktionen (also Funktionswerte, an denen die Funktionen am größten oder am kleinsten werden), die sich auf die Klasse der lokalen Extremwerte und die Klasse der globalen Extremwerte aufteilen lassen. Lokale Extremwerte sind nur Extrema auf einer Teilmenge des Definitionsbereichs, wohingegen globale Extrema diese Eigenschaft auf dem gesamten Definitionsbereich besitzen. In manchen Fällen kann es vorkommen, dass lokale und globale Extrema übereinstimmen.
Mit der Optimierung von Funktionen hinsichtlich solcher Extremwerte lassen sich beispielsweise folgende Fragestellungen beantworten:
- Wie kann mit möglichst wenig Material ein möglichst großes Produkt erstellt werden?
- Bei welcher Losgröße entstehen die geringsten Produktionskosten?
Formal besitzt eine Funktion $f: D \mapsto \mathbb R$ ein lokales Minimum an der Stelle $x_0 \in D$, wenn es ein $c > 0$ gibt, so dass $f(x_0) \leq f(x)$ für alle $x \in D$ mit $\vert x-x_0 \vert < c$. Dies bedeutet, dass in einem kleinen Streifen um die Stelle $x_0 \in D$ kein anderer Punkt existiert, der einen geringeren Funktionswert als der Punkt $x_0$ liefert. Entsprechend liegt ein lokales Maximum an der Stelle $x_0 \in D$ vor, wenn $f(x_0) \geq f(x)$ für alle $x \in D$ mit $\vert x - x_0 \vert < c$. Hier darf innerhalb des Streifens also kein anderer Punkt existieren, der einen größeren Funktionswert liefert. Ein globales Minimum bzw. globales Maximum liegt im Punkt $x_0 \in D$ vor, wenn die entsprechenden lokalen Eigenschaften nicht nur auf einem kleinen Streifen sondern in dem gesamten Definitionsbereich $D$ gelten.
Besitzt eine differenzierbare Funktion $f$ in $x_0$ ihren größten oder kleinsten Wert (d.h. wenn $x_0$ ein lokales Extremum ist), dann muss die Tangente an $f$ durch diesen Punkt parallel zur $x$ - Achse verlaufen und somit die Steigung $0$ haben. Da die Steigung der Tangente aber durch die Ableitung $f'(x_0)$ an der Stelle $x_0$ gegeben ist, folgt hieraus direkt das
notwendige Kriterium: Ist $x_0 \in D$ ein lokales Extremum, dann gilt: $f'(x_0) = 0$.
Umgekehrt kann aber daraus, dass die Ableitung an einer Stelle den Wert Null hat, noch nicht auf eine Extremstelle geschlossen werden. Diese Punkte sind lediglich Kandidaten für ein Extremum und werden daher auch als stationäre Punkte bezeichnet.
Monotonie
Wenn die Stelle $x_0 \in D$ ein stationärer Punkt der Funktion $f$ ist, kann unter zusätzlicher Betrachtung des Vorzeichens der Ableitung $f'$ auf ein Extremum geschlossen werden. Dies lässt sich als hinreichendes Kriterium 1. Ordnung festhalten.
Bei einem Vorzeichenwechsel von $f'$ bei $x_0$ ...
- von + nach - liegt ein lokales Maximum bei $x_0$ vor.
- von - nach + liegt ein lokales Minimum bei $x_0$ vor.
Anschaulich ist klar, dass sich an diesen Stellen das Monotonieverhalten der Funktion ändert. Ist die Ableitung der Funktion bis zu einem stationären Punkt positiv, ist sie bis zu dieser Stelle wachsend, aber anschließend fallend, denn sonst könnte an dieser Stelle kein lokales Maximum vorliegen (denn ansonsten wäre der folgende Punkt größer als der vorherige). Umgekehrt muss die Funktion zunächst fallen und anschließend erst steigen, damit an dieser Stelle ein lokales Minimum vorliegen kann.
Dieses Verhalten soll mit folgender Applikation verdeutlicht werden. Dargestellt ist der Graph der Funktion $g(x) = x^3 - 4x^2 + 2x + 3$ im Intervall $D = [-2,4]$ zusammen mit den jeweiligen Tangenten an den Punkt $x_0$. Der Funktionswert der Ableitung $g'$ an der gewählten Stelle $x_0 \in D$ wird unterhalb des Graphens in roter Farbe bei einem negativen Wert bzw. in grüner Farbe bei einem positiven Wert dargestellt. Probieren Sie dies für verschiedene $x_0$ - Werte aus!
Es wird deutlich, dass zwischen $0.2$ und $0.3$ ein Vorzeichenwechsel von + nach - vorliegt, sodass dort ein lokales Maximum vorhanden ist. Entsprechend ist zwischen 2.3 und 2.4 ein Vorzeichenwechsel von - nach +, sodass dort ein lokales Minimum vorliegt. Die konkreten x - Werte der Extrema sind hierbei $x_1 = 4/3 - \sqrt{10}/3 = 0.27924$ und $x_2 = 4/3 + \sqrt{10}/3 = 2.3874$. Diese Werte können Sie manuell oben eingeben und verifizieren, dass hierbei tatsächlich $f'(x) = 0$ gilt.
Ebenfalls ist offensichtlich, dass diese beiden Extremstellen lediglich lokale Extrema sind, da an den Randpunkten des Definitionsbereichs $D = [-2,4]$ die Funktion $g$ noch kleinere bzw. größere Werte annimmt, sodass an den Randpunkten hierbei globale Extrema vorliegen.
Im letzten Teil dieses Tutorials möchten wir schließlich auf das Krümmungsverhalten von Funktionen und die Bestimmung von Wendepunkten mithilfe von Ableitungen eingehen: