Differentiation2See - Differenzenquotient und Ableitung

Gegeben sei ein Wert, z.B. der Preis von bestimmten Nahrungsmitteln, wie können wir dann kleinste Veränderungen in diesem Wert in Abhängigkeit eines anderen Parameters (z.B. der Zeit) beschreiben? Die Differentiation beschäftigt sich unter anderem mit der Beantwortung solcher Fragen. Prinzipiell entspricht die Ableitung einer Funktion dem Proportionalitätsfaktor zwischen verschwindend kleinen (infinitesimalen) Änderungen des Eingabewertes und den daraus resultierenden, ebenfalls infinitesimalen Änderungen des Funktionswertes. Geometrisch betrachtet entspricht die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt der Tangente an den Graphen in diesem Punkt.

Sekanten und Tangenten

Allgemein ist eine Sekante eine Gerade der Form $g_S(x) = m_S x +b_S$, die den Graph einer beliebigen Funktion $f$ in mindestens zwei Punkten schneidet. Eine Tangente an einen Punkt $(x_0,f(x_0))$ des Funktionsgraphens von $f$ ist eine Gerade der Form $g_T(x) = m_T x + b_T$, die in diesem Punkt die gleiche Steigung wie die Funktion $f$ besitzt. Während bei einem Kreis eine Tangente nur genau einen Schnittpunkt mit diesem hat, kann bei einer beliebigen Funktion $f$ die Tangente mehrere Schnittpunkt mit dem Graph der Funktion haben. Hierbei werden mit $m_S$ bzw. $m_T$ die Steigungen der Geraden und $b_S$ bzw. $b_T$ die jeweiligen Schnittpunkte mit der $y$ - Achse bezeichnet.

In der folgenden Abbildung wird dieses Verhalten graphisch veranschaulicht. Dargestellt ist die Funktion $f(x) = \log(\sqrt{x})$ in blauer Farbe zusammen mit einer Sekante (in roter Farbe) durch die Punkte $(0.5,-0.35)$ und $(6,0.9)$ und einer Tangente (in grüner Farbe) im Punkt $(2,0.35)$.

Sekanten und Tangenten werden wir nun dazu benutzen, um das Konzept der Differentiation anschaulich erläutern zu können.

Differenzenquotient und Ableitung

Ist $f$ eine Funktion, dann ist $f(x+h) - f(x)$ die Änderung des Funktionswertes, wenn das Argument um $h$ Einheiten geändert wird. Umgerechnet auf eine Einheit ergibt dies den Differenzenquotient $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, der somit auch als relative Änderung bzw. Änderungsrate interpretiert werden kann. Geometrisch ist der Differenzenquotient die Steigung der Sekanten durch die Punkte $(x,f(x))$ und $(x+h,f(x+h))$.

Nun heißt eine Funktion $f: D \mapsto \mathbb R$ im Punkt $x_0 \in D$ differenzierbar, wenn der Differenzenquotient für $h \to 0$ konvergiert und
\begin{align*}  f'(x_0) = \frac{df(x)}{dx} \Big \vert_{x = x_0} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \end{align*}
eine reelle Zahl ist (d.h. $< \infty$ ist). Dann heißt der Grenzwert $f'(x_0)$ Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$. Die Funktion $f$ heißt differenzierbar, wenn $f$ an jeder Stelle $x \in D$ differenzierbar ist.

Graphisch lässt sich Differenzierbarkeit gerade so interpretieren, dass eine Funktion genau dann an der Stelle $x_0 \in D$ differenzierbar ist, wenn im zugehörigen Punkt $(x_0,f(x_0))$ des Graphen von $f$ genau eine Tangente existiert, die nicht senkrecht verläuft. Die Ableitung von $f$ an der Stelle $x_0$ ist dann die Steigung $m_T$ dieser Tangente. Der Differenzenquotient $\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$ entspricht der Steigung $m_S$ einer Sekanten von $f$ durch die Punkte $(x_0,f(x_0))$ und $(x_0+h,f(x_0+h))$. Die Funktion $f$ ist also genau dann an der Stelle $x_0$ differenzierbar, wenn die Steigung dieser Sekanten beim Grenzübergang $h \to 0$ gegen die Steigung der Tangente konvergiert.

Die folgende Applikation verdeutlicht dieses Verhalten anhand der Funktion $f(x) = \log(\sqrt{x})$ auf dem Intervall $D = [0,10]$. Probieren Sie dies für verschiedene $x_0$ aus!

Es wird deutlich, dass in jedem Punkt $x \in D$ die Steigung der Sekanten gegen die Steigung der Tangenten konvergiert, sodass die Funktion $f(x) = \log(\sqrt{x})$ differenzierbar ist.

Formal ist somit die Geradengleichung der Tangente durch den Punkt $(x_0,f(x_0))$ durch
\begin{align*}  g_T(x) = f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) = \underbrace{f'(x_0)}_{=m_T} x + \underbrace{f(x_0) - f'(x_0) x_0}_{=b_T} = m_T x + b_T \end{align*}
gegeben. Diese Gleichung lässt sich dann auch als lineare Approximation an $f(x)$ im Punkt $x_0$ verwenden:
\begin{align*} f(x) \approx f(x_0) + f'(x_0) (x-x_0) .   \end{align*}

Wichtige Rechenregeln

Die wichtigsten Rechenregeln zur Differentiation können in der Formelsammlung nachgelesen werden.